Условия устойчивости собственного бокового движения

Устойчивость быстрого кремового движения. Условие устойчивости быстрого кренового движения — отрицательное значение большого вещест­венного корня (к1 < 0) характеристического уравнения (4.8). Приближенное значение большого корня можно получить, отбрасывая в уравнении (4.8) слагаемые со степенями р ниже третьей. Тогда

Х1 ^ — А3б = М“х + М.“* + FfK.

Практика расчетов показывает, что наибольшим здесь является М“х, поэтому обычно принимают = М“х. Так как на докритических углах атаки М®х < 0, то и < 0. Поэтому быстрое креновое движение быстро затухает, демпфируется. На закритических углах атаки, когда М“х ^ О, наоборот, вместо демпфирующего момента возникает момент самовра­щения. Большой действительный корень Xt становится при этом по­ложительным, а самолет — апериодически неустойчивым.

Устойчивость медленного спирального движения. Условием устойчивости спирального бокового движения является отрицательное значение малого действительного корня Х2 < О характеристического уравнения (4.9). При­ближенное значение малого корня Х2 можно получить, отбрасывая в уравнении (4.9) три первых слагаемых. Тогда

Практика расчетов показывает, что корень Х2 может иметь как отри­цательный, так и положительный знак. Отрицательному значению корня (Х2 <~0) соответствует медленно затухающее движение по крену и рыска­нию. Если этот корень положителен (Х2 >0), то движение апериодически неустойчиво и характеризуется медленным нарастанием крена, разворотом и снижением. ^

Устойчивость быстрого колебательного движения. Для анализа устой­чивости быстрого колебательного движения рассмотрим его составляющие по рысканию и скольжению с помощью уравнения — .

Характеристический определитель уравнения (4.24) имеет вид

Р
—^у. Р р — ар, р
= р2 + 21ібр + ю6.
А(р)	(4.26)

 

Коэффициент демпфирования боковых короткопериодических коле­баний

W = (аИу, Шу + ар, з) = — (М^ + Р2?к). (4.27)

Частота недемпфированных боковых короткопериодических колебаний

“б = ату, Шу ар>э — ар, Шу аШу>р = — Й?. (4.28)

Корни характеристического уравнения

X2 + 2h6)i + wl = О (4.29)

определяют характер собственного бокового короткопериодического воз­мущенного движения самолета

^3,4 = -h6 ± VhT^I. (4.30)

Как правило, со2 > hi? и со| > 0 и корни уравнения (4.29) являются комплексными сопряженными, а собственное короткопериодическое дви­жение — колебательным

= -he ± іл/соб — hi.

Тогда решение уравнения (4.24) может быть получено в аналитическом виде:

Aco.lt = Абу е V sin(v6t +ср6у) Др(0 = A^e"V sin(vet + <p{!),

где Agу, Ag — постоянные, определяемые из начальных условий Д©у = Дю? и Др = ДР° при I = 0; фдУ, фазовые углы сдвига боковых короткопериодических колебаний.

Круговая частота собственных боковых короткопериодических коле­баний

v6 = ^ю| — h|, (4.33)

Необходимыми и достаточными условиями устойчивости опорного собственного бокового короткопериодического движения по критерию Гурвица являются следующие неравенства:

h6 > О, ю| > 0. (4.34)

Если самолет обладает путевой статической устойчивостью, то условие (4.34) выполняется. Однако этот вывод справедлив только для малых углов атаки. При значительных углах атаки существенное влияние на рыскание оказывает движение крена. Тогда наличие путевой устойчивости еще не гарантирует устойчивости рыскания и, наоборот, при отсутствии путевой устойчивости рыскание может быть устойчиво благодаря влиянию крена.

Обычно же h6 > 0 и соб2 > 0, и отклонения параметров Асоу и Др в процессе собственного бокового короткопериодического движения будут * ‘ 119

затухать, стремясь к нулю. Тогда это движение асимптотически устойчиво. Если Ьб < О и ю| < 0, корни становятся действительными сопря­женными, а движение по рысканию-апериодически неустойчивым.

Устойчивость собственного бокового движения самолета по первичным параметрам. Для анализа устойчивости воспользуемся критерием Рауса — Гурвица. Условия устойчивости следующие:

А1 > О, АІ > О, А® > О, А| > О,

4.35)

К = At Аб2 А® — (А83)2 Аб0 — (АІ)2 > 0.

Коэффициенты характеристического уравнения А®, А®, А® положитель­ны при полете самолета на дозвуковых скоростях и докритических углах атаки, так как все вращательные производные, кроме Мух, имеют от­рицательный знак у статически устойчивого самолета. Таким образом, устойчивость самолета в боковом движении по первичным параметрам будет определяться по существу двумя условиями:

А^ > О, К > О, (4.36)

так как коэффициент АО может в принципе иметь любой знак. Дальнейший анализ устойчивости удобно провести с помощью полученных условий устойчивости подидам бокового движения.

Представим характеристическое уравнение (4.9) в следующем виде:

(р — )4)(p — Х.2)(р2 + 2hgp + со і) = 0. (4.37)

Из (4.8) и (4.36) следует, что

2 he — (І! + Х2) = AS, со? kt Х2=А%. (4.38)

Из (4.37) следует, что услодце АО выполняется в том случае, если Xj < О (устойчиво быстрое апериодическое движение), Я,2 < 0 (устойчиво медлен­ное спиральное движение), со! > 0 (устойчиво короткопериодическое дви­жение). Вторым условием устойчивости короткопериодического движения является h6 > О, а полное боковое движение по первичным параметрам может быть устойчиво лишь при К > 0. На границе колебательной устойчивости, когда комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения Х3 и Х4 становятся чисто мнимыми, выполняется условие К = 0.

Весьма важным является вопрос о влиянии статической поперечной и путевой устойчивости на динамическую боковую устойчивость самолета. Как показывают исследования, при увеличении путевой статической устойчивости самолет приближается к границе спиральной устойчивости и может стать спирально неустойчивым. Причем степень путевой ста­тической устойчивости, при которой произойдет потеря спиральной ><. іойчиіюсіи, тем больше, чем больше поперечная статическая устой­чивость самолета.

Если увеличивается поперечная статическая устойчивость, самолет удаляется от границы спиральной устойчивости, но при этом ухудшается затухание его колебательного движения. При этом возможна потеря колебательной устойчивости. Такой характер влияния статической устой — 120

чивости на динамическую объясняется следующим образом. Пусть самолет получил начальное возмущение-положительный угол крена и накренился на правое полукрыло. Следствием этого будет возникновение положи­тельного угла скольжения и пропорциональных ему моментов Мхр и Мур. Если самолет обладает статической устойчивостью в боковом движении, эти моменты будут отрицательными. Самолет начнет поворачиваться относительно продольной оси ОХ, уменьшая крен, и относительно нормальной оси ОУ, уменьшая угол скольжения. Если велика путевая статическая устойчивость, самолет будет двигаться без скольжения, момент крена Мхр будет равен нулю, начальный угол крена сохранится и вызовет движение самолета по спирали. .

Если, наоборот, путевая устойчивость мала по сравнению с поперечной, то угол скольжения будет уменьшаться медленно, а угол крена-быстро. В момент, когда крен становится нулевым, положительное скольжение еще останется, следовательно, самолет будет продолжать вращаться отно­сительно продольной оси, увеличивая крен на левое полукрыло. Отри­цательный угол крена приведет к скольжению на левое полукрыло, появится положительный момент крена Мхр и самолет начнет крениться в обратную сторону и вызовет движение самолета змейкой.

Таким образом, требования к характеристикам путевой и поперечной устойчивости, обеспечивающие динамическую спиральную и колебатель­ную устойчивость, противоречивы. При увеличении спиральной устой­чивости ухудшаются характеристики колебательного движения.

Обычно спиральное движение протекает очень медленно и слабо ощущается пилотом даже в случае некоторой спиральной неустойчивости. Напротив, колебания самолета по рысканию и крену с заметной частотой значительно затрудняют пилотирование. Поэтому характеристики корот­копериодического колебательного движения считаются более важными.